12-я лекция, 2010

8. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ

8.1 Истечение через отверстия в тонкой стенке и насадки (короткие трубки)  при постоянном напоре.

8.2. Истечение при совершенном сжатии.

8.3 Скорость истечения при совершенном сжатии. Коэффициенты:ε, ξ, φ, μ

8.4 Истечение при несовершенном сжатии

8.5. Истечение под уровень

8.6. Истечение через насадки при постоянном напоре.

8.7 Первый режим течения.

8.8 Второй режим истечения

8.1. Истечение через отверстия и насадки (короткие трубки)

 при постоянном напоре.

Рассматривается процесс истечение жидкости из резервуаров через отверстия и насадки в атмосферу и в пространство, заполненное жидкостью.

При истечении запас потенциальной энергии  жидкости в резервуаре, переходит в кинетическую энергию свободной струи, при переходе есть  потери энергии на трение и завихрение частиц жидкости.

Задачей изучения процесса истечения является определение скорости истечения и расхода жидкости.

Истечение производится из резервуара с жидкостью под давлением Р₀ на свободной поверхности через круглое отверстие в тонкой стенке на глубине (во много раз большей диаметра отверстия) Н₀ >> d_от (рис. 12.1).

Через отверстие жидкость вытекает в воздушное пространство с давлением Р₁.

Отверстие в стенке имеет острую кромку. Частицы жидкости приближаются к отверстию из всего прилежащего объема, двигаясь ускоренно по различным плавным траекториям (см. рис.12.1б). Струя отрывается от стенки у кромки отверстия и затем сжимается. Формирование сжатого сечения  струи происходит на расстоянии примерно одного диаметра отверстия.

Сжатие струи происходит при плавном переходе от различных направлений движения жидкости в резервуаре.

12.2. Истечение при совершенном сжатии.

Совершенным сжатием называется наибольшее сжатие струи, когда  диаметр отверстия во много раз меньше  напора Н₀.

Н₀ >> d_от

В этом случае боковые стенки и свободная поверхность жидкости не влияют на поток жидкости к отверстию.

Сжатие струи оценивается коэффициентом сжатия ε, равным отношению площади поперечного сечения струи к площади отверстия

ε = Sc/S₀ = (dc/d₀)².                             (12.1)

Для определения скорости истечения и расхода из отверстия запишем уравнение Бернулли для движения жидкости от свободной поверхности «0 – 0»  в резервуаре   и сечением струи «1 – 1» (на рис.12.1а).

В рассматриваемом случае уравнение Бернулли записывается для установившейся скорости,  истечение происходит под постоянным напором, над свободной поверхностью  «0 – 0» давление равно Р_0,   скорость также равна нулю.

В сечении   «1 – 1», струя примет  цилиндрическую форму, давление  Р₁,    скорость V₁ предстоит определить из уравнения Бернулли для потока реальной жидкости.

где ξ— коэффициент, характеризующий  сопротивление отверстия,   -коэффициент Кориолиса из уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости, характеризующий неравномерность распределения скоростей в потоке.

Если умножить числитель и знаменатель выражения для  α  на ρ/2, можно убедиться, что α является отношением действительной кинетической энергии потока в данном сечении к кинетической энергии этого потока в этом сечения  при равномерном распределении скоростей.

Выделив сумму геометрического и пьезометрического напора Н = Н₀ + (Р₀ - Р₁)/(ρg), получаем выражение, связывающее скорость истечения и скоростной напор.

12.3 Скорость истечения реальной жидкости при совершенном сжатии.

Коэффициенты:ε, ξ, φ, μ

Из выражения для гидростатического напора, получим формулу для определения скорости истечения из отверстия с острой кромкой для реальной жидкости

,                             (12.2)

где φ — коэффициент скорости

   .                                                        (12.3)

Для идеальной жидкости, так как у нее отсутствует вязкость, трения и потерь на трение нет  ξ = 0, α = 1, следовательно, φ = 1. 

Скорость истечения идеальной жидкости из отверстия с острой кромкой

                   (12.4)

Из  формулы (12.2) можно заключить, что коэффициент скорости φ есть отношение скорости истечения реальной жидкости к скорости истечения идеальной жидкости.

,              (12.5)

Скорость истечения реальной жидкости меньше  идеальной из-за вязкости и трения, поэтому коэффициент скорости φ  всегда меньше единицы.

Измерения показывают, что в средней части сечения струи эпюра скоростей является равномерной,  поэтому  скорость в средней части  струи близка к идеальной , наружный слой жидкости притормаживается при трении о края стенки отверстия.  Коэффициент φ рассматривается, как коэффициент по средней скорости.

Умножив  скорость истечения на площадь сечения струи, получим выражение для расхода жидкости через отверстие с острой кромкой при совершенном сжатии

.                     (12.6)

Коэффициентом расхода μ  называют произведение значений коэффициентов сжатия  ε и скорости φ

μ = ε * φ.

Формула для расхода через отверстие с острой кромкой с учетом выражения для μ

 (12.7)  или

   (12.8)

где ΔР — расчетная разность давлений, под действием которой происходит истечение.

По этим формулам определяется расход для всех случаев связанных с истечением из отверстия  с острой кромкой и через насадки различных форм.

Из уравнения (12.7) следует, что

        (12.9)

Коэффициент расхода есть отношение  действительного расхода Q к  расходу идеальной жидкости Q_и, определенному по ее скорости .  Действительный расход всегда меньше расхода идеальной жидкости, следовательно, коэффициент расхода всегда меньше единицы из-за сжатия струи и трения.

Коэффициенты сжатия струи  ε,  сопротивления  ξ, скорости φ,  расхода μ = ε * φ зависят от типа отверстия и насадка  и от  числа Рейнольдса.

На рис. 12.2 показаны составленные Альтшулем  зависимости для  коэффициентов ε,   φ  и  μ  для круглого отверстия в функции  числа Rе_и, подсчитанного по скорости истечения идеальной жидкости

Rе_и=V_иd/ν = .

 

Увеличение числа Re означает уменьшение сил вязкости, поэтому коэффициент φ возрастает в связи с уменьшением коэффициента сопротивления ξ  (влияние трения становится меньше),  коэффициент ε  уменьшается из-за уменьшения торможения жидкости у кромки отверстия и увеличения радиусов кривизны струи на входе в цилиндрическую часть. При Rе_и →∞  значения коэффициентов приближаются к φ→1 и ε→0,6 и соответствуют истечению идеальной жидкости.  

Коэффициент расхода μ,  определяемый произведением ε на φ  с увеличением Re сначала растет, что связано с сростом φ, а затем уменьшается в связи  со значительным падением  ε и при больших Rе_и равен μ = 0,60÷061.

В области малых Re (Rе_и < 25) роль вязкости велика, торможение жидкости у кромки значительно так,  что сжатие струи отсутствует ε = 1, φ = μ.  В этом случае можно пользоваться формулой:

                    (12.10)

                                                            

12.3. Истечение при несовершенном сжатии

Несовершенным сжатием струи тогда, когда на формирование струи оказывает влияние близость боковых стенок резервуара.

Боковые стенки успевают направлять жидкость при подходе к отверстию, и струя   сжимается в меньшей степени, чем при истечении из резервуара неограниченных размеров при совершенном сжатии. Увеличивается  коэффициент сжатия  и коэффициент расхода.

При истечении из цилиндрического резервуара через круглое отверстие, расположенное в центре торцевой стенки  при больших числах Re,  коэффициент сжатия ε₁ можно находить по формуле Жуковского для идеальной жидкости

ε₁ = 0,57 +0,043/(1,1 - n)                                 (12.11)

где n = S₀/S₁ отношение площади отверстия S₀ к площади S₁ поперечного сечения резервуара.

Коэффициент скорости φ при несовершенном сжатии мало зависит от отношения n и его находят по графику на рис.12.2, коэффициент сопротивления отверстия ξ  можно найти из формулы, связывающей

Коэффициент расхода μ₁ = ε₁ φ , уравнение Бернулли записывается для сечения «1-1» в резервуаре и сечения в наиболее сжатой части струи, где давление равно Р₀ –атмосферному.

Выразим V₁ через V₂  V₁S₁=V₂ ε₁S₀;       V₁=V₂ ε₁S₀/S₁;              V₁=V₂ ε₁n

.                              (12.12)

Откуда получаем:  

скорость для несовершенного сжатия струи 

;       (12.13)

расход для несовершенного сжатия струи 

         (12.14)

12.5. Истечение под уровень

Истечением под уровень называется истечение жидкости в пространство, заполненное этой же жидкостью (рис. 12.12).

Вся кинетическая энергия струи теряется на вихреобразование, как при внезапном расширении.

Составляя уравнение Бернулли относительно свободных поверхностей «0 – 0» и   «2 – 2»   скорости считаем равными нулю, а приравнивая к первой и второй части члены уранения для сжатого сечения получим с учетом коффициента  α :

 

 или

1-я сумма, 2-я сумма, 3- сжатое сечение

где Н – обозначен расчетный напор, ξ – коэффициент сопротивления отверстия, имеющий примерно то же значение, что и при истечении в атмосферу, V – скорость истечения в сжатом сечении струи.

Скорость в этом случае

  (12.15)

Расход

,   (12.16)

где S_c – площадь сжатого сечения струи, S₀ – площадь отверстия.

  Получились такие же  расчетные формулы, что и при истечении в воздух, только расчетный напор Н в данном случае представляет собой разность  гидростатических напоров по обе стороны стенки, т.е. скорость и расход не зависят от  высоты расположения отверстия.

Коэффициенты сжатия и расхода при истечении под уровень можно принимать  те же, что и при истечении в воздушную среду.

12.6. Истечение через насадки при постоянном напоре.

Внешним цилиндрическим насадком называется короткая трубка длиной, равной l = (2÷6)d без закругления входной  кромки (рис.12.4а).  Истечение через такой насадок в атмосферу может происходить  в двух режимах.

12.5.1.Первый режим течения- безотрывный:  струя после входа в насадок сжимается примерно как  при истечении через отверстие в тонкой стенке.

Затем сжатая часть струи расширяется до размеров отверстия, и из насадка выходит полным сечением. Такой режим истечения называют безотрывным. На выходе диаметр струи равен диаметру отверстия.

Для маловязких жидкостей  средние значения коэффициентов для этого режима при больших числах Re равны: μ=φ = 0,8, ξ = 0,5-0,63.

Коэффициент μ расхода такого насадка при этом режиме истечения жидкости зависит от относительной длины насадка l/d и числа Re. Однако и при достаточном значении l/d не всегда возможен этот режим.

Пусть истечение жидкости происходит под действием давления Р₀ в среду газа с давлением Р₂. Расчетный напор в этом случае

H = (P₀ – Р₂)/(ρg)

В струе на выходе из насадка давление равно Р₂, в суженном месте струи внутри насадка, где скорость увеличена, давление Р₁ меньше, чем Р₂. Чем больше напор, под которым происходит истечение и расход через насадок, тем меньше абсолютное давление  Р₁. Разность давлений Р₂ - Р₁   растет пропорционально напору Н.

Покажем это, составив уравнение Бернулли для сечений 1 - 1 и 2 – 2,α = 1 (см. рис.12.4а):

Последний член уравнения представляет собой потерю напора на расширение потока, которое в данном случае происходит примерно так же, как и при внезапном расширении трубы (формула Борда). Сжатие струи внутри насадка можно оценить коэффициентом сжатия ε, как и в случае отверстия, поэтому на основании уравнения расхода

ε=S₁/S₂; V₁S₁=V₂S₂; V₁/V₂=S₂/S₁=1/ ε;

  V₁=V₂/ε.                 (12.17)

Заменив с помощью этого соотношения скорость V₁  в уравнении Бернулли на скорость V_2, а  ее скорость V₂ выражением через , найдем падение давления внутри насадка:

  (12.18)

   Подставляя сюда φ = 0,8 и ε=0.63, получаем

(Р₂ - Р₁  ) ≈ 0,75ρgH (12.19)

Если истечение происходит в среду, где Р₂ равно постоянному , например, атмосферному давлению, увеличение   напора до критической величины Нкр приводит к уменьшению Р₁ -  абсолютное давление в сжатом сечение «1 – 1»  внутри насадка может уменьшиться до  давления насыщенных паров. Поэтому существует величина напора, называемая  критическим напором

Hкр ≈ Р₂ /(0,75ρg).    (12.20)

Следовательно, при Н > Hкр давление Р₁  должно стать отрицательным, но отрицательных давлений в жидкости не бывает, поэтому первый режим истечения при

Н > Hкр делается невозможным. При Н ≈ Hкр происходит внезапное изменение режима истечения, переход от первого режима ко второму (см. рис.12.4в).

12.5.2. Второй режим истечения характеризуется тем, что струя после сжатия уже не расширяется, сохраня цилиндрическую форму, и перемещается внутри насадка, не соприкасаясь с его стенками. Течение становится таким же, как из отверстия в тонкой стенке, с теми же значениями коэффициентов. Следовательно, при переходе от первого режима ко второму скорость возрастает,  расход уменьшается, благодаря сжатию струи.

Если через насадок происходит истечение воды в атмосферу, то

Hкр ≈ Р_а /(0,75ρg) = 10,33/0,75 ≈ 14 м.

Когда давление  Р_н.п. насыщенных паров истекающей жидкости соизмеримо с давлением Р₂ среды, в которую происходит истечение,  пренебречь величиной Р_н.п.  нельзя, в формуле (12.19) следует принять Р₁ = Р_н.п. 

Hкр = (Р_а ^– Р_н.п.) /(0,75ρg)     (12.21)

Если после перехода от первого режима истечения ко второму уменьшить напор Н, то второй режим будет сохраняться вплоть до самых малых Н. Это значит, что второй режим истечения возможен при любых напорах,  следовательно, при Н < Нкр возможны оба режима.

При истечении через цилиндрический насадок под уровень первый режим истечения не будет отличаться от описанного выше. Но когда абсолютное давление внутри насадка благодаря увеличению Н падает до давления насыщенных паров перехода ко второму режиму не происходит, а начинается кавитационный режим, при котором расход перестает зависеть от противодавления Р₂,  получается эффект стабилизации расхода.  При этом чем меньше относительное противодавление Р₂/Р₀ = Р_вых/Р_вх =, которое является критерием кавитации, тем шире область кавитации внутри насадка и тем меньше коэффициент расхода μ.

Таким образом, при истечении жидкости через внешний цилиндрический насадок под уровень коэффициент является функцией трех безразмерных критериев, а именно

μ = f (l/d, Re,  ).

Результаты новых экспериментальных исследований этого случаи истечения представлены в безразмерных координатах на рис. 1.85. На рис.1.85а даны зависимости от Re при l/d = 3 для ряда значений , начиная от = 0 и до > , где -  критическое значение , соответствующее началу кавитации и, следовательно, критерию ηкр(см. п. 1.23). На рис. 1.85б показаны области кавитационных и безкавитационных режимов истечения через насадки с l/d = 3; 5 и 10. Увеличениепри возрастании Re объясняется уменьшением коэффициента ε сжатия струи внутри насадка, т. е. увеличением степени сжатия, а уменьшение при увеличении l/d происходит из-за возрастания давления в сжатом сечении вследствие увеличения потерь на трение по длине насадка.

Таким образом, внешний цилиндрический насадок имеет существенные недостатки: на первом режиме - большое сопротивление и недостаточно высокий коэффициент расхода, а на втором - очень низкий коэффициент расхода. Недостатком является также двойст-венность режима истечения в газовую среду при Н < Нкр, а следовательно двузначность расхода при данном Н и возможность кавитации при истечении под уровень.

При использовании цилиндрического насадка (сверления в толстой стенке), например в качество жиклеров, дросселей или форсунок эти недостатки следует учитывать или улучшать насадок.

Внешний цилиндрический насадок может быть значительно улучшен путем закругления входной кромки (см. штриховые линии на рис. 1.83) или устройства конического входа с углом конусности около 60° (см. жиклер на рис. 1.75).

Чем больше радиус закругления, тем выше коэффициент расхода и ниже коэффициент сопротивления. В пределе при радиусе кривизны, равном толщине стенки, цилиндрический насадок приближается к коноидальному насадку, или соплу.

Коноидальный насадок (рис. 1.86) очерчивается приблизительно по форме естественно сжимающейся струи и, благодаря этому, обеспечивает безотрывность течения внутри насадка в параллельноструйность в выходном сечении. Это весьма распространеный насадок, так как он имеет коэффициент расхода, близкий к единице, и очень малые потери (коэффициент сжатия ε = 1), а также устойчивый режим течения без кавитации.

Значения коэффициента сопротивления те же, что и при плавном сужении (см. п. 1.32), т. е. ξ= 0,03 ÷ 0,1 (большим Re соответствуют малые ξ ‚ и наоборот). В соответствии с этим μ =φ= 0,99÷0,96.

Диффузорный насадок представляет собой комбинацию сопла и диффузора (рис. 1.87).

 

 

Приставка диффузора к соплу влечет за собой снижение давления в узком месте насадка, а следовательно, увеличение скорости и расхода жидкости через него. При том жедиаметре узкого сечения, что и у сопла, и том же напоре диффузорный насадок может дать значительно больший расход (увеличение до 2,5 раза), чем сопло.

Такие насадки применяют в том случае, когда заданы диаметр узкого сечения и напор и требуется получить возможно больший расход. Однако, использовать диффузорных насадков можно лишь при небольших  напорах Н = 1 ÷4 м, так как иначе в узком месте насадка возникает кавитация.  Следствием кавитации являются увеличение сопротивления и уменьшение пропускной способности насадка.

На рис.1.88 показано падение коэффициента расхода диффузорного насадка с увеличением напора вследствие кавитации, возникающей в узком месте насадка при истечении воды в атмосферу.

Коэффициент расхода отнесен к площади узкого сечения, т. е. . Приведенная кривая получена в результате испытания диффузорного насадка, обладающего наивыгоднейшим углом и степенью расширения, которые обеспечивают наибольший коэффициент расхода.

Внутренний цилиндрический насадок или насадок Борда, изображен на рис.1.89. Там же схематически показаны два режима истечения , аналогичные режимам истечения через внешний цилиндрический насадок. Очертания струи при первом режиме показаны сплошными линиями, а при втором – штриховыми. Так как частицы жидкости приближаются  к входному отверстию насадка из всего прилежащего объема, а некоторые из них, попадающие на периферию струи, изменяют направление своего движения на 180°, то степень сжатия струи в данном насадке больше, а коэффициент ε меньше, чем во внешнем цилиндрическом насадке. Значение ε в этом случае при истечении идеальной жидкости  может быть получено на основании теоремы Эйлера об изменения количества движения (см. п. 1.15). Применим эту теорему к фиксированному объему в виде кругового цилиндра ABCD соосного с насадком, и с основанием  CD, достаточно удаленным от насадка, где V=0. Пренебрегая толщиной стенки насадка на основании указанной теоремы при втором режиме истечения получим

PS₀ = ρS_с*V²,

где P— давление в центре основания CD, S₀ и S_с — площади отверстия насадка и сечения струи (силы давления жидкости на кольцевые площади оснований цилиндра ABCD  уравновешиваются, а избыточное давление по площади S₀ в  плоскости АВ равно нулю.

С другой стороны, для скорости истечения имеем

1 .

IIосле подстановки второго уравнения в первое и сокращения на Р и ρ получим

ε = S_с / S₀ = ½.

Этому значению ε соответствуют значения коэффициентов расхода μ = 0,71 и потерь ξ =1, что подтверждается опытами при первом режиме истечения и больших числах Рейнольдса.