9-я лекция,2010

 

9. МЕСТНЫЕ ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ

9.1. Общие сведения о местных сопротивлениях

9.2. Внезапное расширение трубопровода

9.3. Постепенное расширение трубы

9.4. Сужение русла

9.5. Поворот труб

9.6. Местные сопротивления при ламинарном течении

 

9.1. Общие сведения о местных сопротивлениях

 

Потери энергии (напора) состоят из  потерь  на трение по длине и потерь в местных гидравлических сопротивлениях.

Местными сопротивлениями называются участки трубопроводов, на которых из-за изменения размеров или конфигурации русла происходит деформация потока и изменения значения или направления скоростей движения жидкости, при этом возникают отрыв потока от стенок трубы и вихреобразования.

К таким сопротивлениям относятся: вентили, диафрагмы, внезапные расширения и сужения, колено, поворот на некоторый угол и другие.

Потери энергии, отнесенные к единице веса потока жидкости подсчитывают формуле (Вейсбаха-Дарси):

где V – скорость потока в сечении S, Q – расход, ζ  -  безразмерный коэффициент местного сопротивления.

Сложные случаи местных сопротивлений это соединения или комбинации сопротивлений. Так, например, при течении жидкости через вентиль  поток искривляется, меняет своё направление, сужается и, наконец, расширяется до первоначальных размеров, при этом возникают интенсивные вихреобразования

В общем случае величина ζ  -  зависит от формы местного сопротивления, шероховатости его стенок, условий входа и выхода потока и числа Рейнольдса.

Число Re определяют в сечении, где находится местное сопротивление. При числах Re > 10⁵ для большинства местных сопротивлений имеет место турбулентная автомодельность, то есть потери напора пропорциональны квадрату скорости и не зависят от Re. Значения ζ  для различных местных сопротивлений можно найти в справочной литературе.

Значения коэффициентов местных сопротивлений в большинстве случаев получают из опытов, на основании которых составляют таблицы или строят графики. Для некоторых случаев эти коэффициенты могут быть получены теоретически.

 

9.2. Внезапное расширение трубопровода

 

При внезапном расширении трубы (рис. 1.63) поток расширяется до большего диаметра не сразу, жидкость отрывается от стенок и дальше движется в виде свободной струи, отделенной от остальной жидкости поверхностью раздела.  Поверхность раздела неустойчива, в кольцевом пространстве между потоком и стенкой трубы образуются вихри. Струя постепенно расширяется, пока на некотором расстоянии   l от начала расширения не заполняет все сечение «2-2» трубы

.

В кольцевом пространстве между струей и стенками жидкость находится в вихревом движении: жидкость из этой зоны вовлекается ы центральную струю, с другой стороны , жидкость из струи попадает в вихревую зону. Благодаря отрыву потока, и вихреобразованию происходит потеря напора.

Обозначим давление, скорость и площадь потока в сечении 1 – 1  соответственно через Р₁ , V₁, S₁ , а в сечении 2 - 2  через Р₂ , V₂, S₂.

Прежде чем составлять исходные уравнения, сделаем три допущения:

1) распределение скоростей в сечениях 1-1 и 2-2 равномерное; т. е. α₁ = α₂ =1, что обычно принимается при турбулентном режиме.

2) учитывая, что участок 1-2 невелик,   силами трения пренебрегаем;

З) Принимаем, что в сечении 1 - 1 давление Р₁ действует по всей площади S₂.

Запишем для сечений 1 - 1 и 2 - 2 уравнение Бернулли с учетом потери напора h_расш на расширение и, принимая, что z₁ = z₂= 0, получим

.

   (9.1)

Затем применим теорему Эйлера об изменения количества движения  к цилиндрическому объему, заключенному между сечениями 1 - 1, 2 - 2 и стенкой трубы.

«Сила, действующая на тело равна изменению количества движения тела  за единицу времени».

Соответствующее изменение количества движения является разностью между секундным количеством движения, выносимым из рассматриваемого объема и вносимым в него:

Q*ρ*( V₂ –V₁)=V₂S₂ ρ* (V₂ –V₁)         .   (9.2) .

Получим

(Р₁ -Р₂ ) * S₂ = V₂S₂ ρ* (V₂ –V_).           .(9.3)

Разделим полученное уравнение на ρ*g, S_2,  учитывая, что_,  преобразуем правую часть уравнения.

(9.4.),

подставим (2) в (1) .

Сгруппировав члены, получим

Т. е. потеря напора при внезапном расширении русла равна скоростному напору, определенному по разности скоростей. Эту формулу  называют теоремой Борда в честь французского ученого, который вывел ее в 1766 г.

По уравнению расхода

V₁S₁ = V₂S_2,

полученный результат можно выразить относительно скорости V1 в узкой трубе, в сечении «1-1»:

                                   (9.5)

Коэффициент потерь для внезапного расширения трубопровода:

                                   (9.6)

Формула хорошо подтверждается опытом при турбулентном течении и широко используется в расчетах.

Когда площадь S_2, весьма велика по сравнению с площадью S₁ и, следовательно, скорость V₂ можно считать равной нулю, потеря на расширение

Т. е. в этом случае теряется весь скоростной напор (вся кинетическая энергия, которой обладает жидкость); коэффициент потерь ξ = 1.

Такому случаю соответствует, например, подвод жидкости по трубе к резервуару достаточно больших размеров.

9.3. Постепенное расширение трубы

Местное сопротивление,  при котором труба расширяется постепенно,  называется диффузором. Течение жидкости в диффузоре сопровождается уменьшением скорости и увеличением давления, а, следовательно, преобразование кинетической энергии жидкости в энергию давления. Частицы движущейся жидкости преодолевает нарастающее давление за счет своей кинетической энергия, которая уменьшается вдоль диффузора в том числе и направлении от оси к стенке. Слои жидкости, прилежащие к стенкам, обладают столь малой кинетической энергией, что иногда оказываются не в состоянии преодолевать повышенное давление, они останавливаются или даже начинают двигаться обратно. Обратное движение (противоток) вызывает отрыв основного потока от стенки и вихреобразование (рис.9.2). Интенсивность этих явлений возрастает с увеличением угла расширения диффузора, а вместе с этим растут и потери на вихреобразование в нем.

Кроме того, в диффузоре имеются потери на трение.

Полную потерю напора в диффузоре условно найдем, как сумму двух слагаемых:

h_диф=h_тр+h_п.р., (9.7)

где h_тр  и h_п.р. — потери напора на трение и расширение (на вихробразование)

Потерю напора на трение можно приближенно подсчитать следующим способом. Рассмотрим круглый диффузор с прямолинейной образующей и с углом α при вершине.

Пусть радиус входного отверстия диффузора равен r₁, выходного r₂ (рис.9.3). Так как радиус сечения и скорость движения жидкости являются переменными вдоль диффузора, то следует взять элементарный отрезок диффузора длиной dl вдоль образующей и для него выразить элементарную потерю напора на трение по основной формуле

Где V - средняя скорость в произвольно взятом сечении, радиус которого r.

Из элементарного треугольника следует:  dl = dr/Sin(α/2).

Далее можно записать  V=V₁ (r₁/r)²,

где V₁  - скорость в начале диффузора.

Подставим эти выражения в формулу для dh_ТР  и выполним интегрирование в пределах от r₁ до r₂, т.е. вдоль всего диффузора, считая при этом коэффициент λ_Т – постоянным:

Откуда,     после интегрирования получим

               (9. 8)

где n = (S₁/S₂) = (r₂/r₂)² -  степень расширения диффузора.

Потеря напора на расширение имеет  в диффузоре ту же природу, что и при внезапном расширении. Поэтому определяется по формуле Борда с поправочным коэффициентом k_п.р. меньшим единицы и называемым также коэффициентом смягчения.

                 (9. 9)

Так как в диффузоре по сравнению с внезапным расширением торможение потока как бы смягченное, коэффициент k_п.р. называют коэффициентом смягчения. Его численное значение для диффузоров с пределами конусности α = 5 - 20° можно определить по приближенной формуле

k_п.р.  = Sin α,                                (9.10).

Учитывая полученные формулы (9.8) и (9. 9) можно исходное выражение (9. 7) переписать в виде

             (9.11)

А коэффициент сопротивления диффузора можно выразить формулой

                         (9.12)

Последнее выражение показывает, что  коэффициент ξ_диф зависит от  угла α, коэффициента λ_т и степени расширения n.

Важно выяснить характер зависимости  ξ_диф от  угла α. С увеличением  угла α  при заданных λ_т  и n  первое слагаемое в формуле (9.12), обусловленное трением, уменьшается, так как диффузор становится короче, а второе слагаемое, обусловленное вихреобразованием и отрывом потока, увеличивается. При уменьшении же угла α  вихреобразование уменьшается, но возрастает трение, так как при заданной степени n расширения диффузор удлиняется, и поверхность его трения увеличивается.

Функция ξ_диф =f(α)  имеет минимум при некотором наивыгоднейшем оптимальном значении угла α (рис.9.4).

Для сокращения длины диффузора при заданном n обычно принимают несколько большие углы, а именно 7 ÷ 9°. Эти же значения угла можно рекомендовать и для прямоугольных диффузоров.

Для прямоугольных диффузоров с расширением в одной плоскости (плоские диффузоры) оптимальный угол больше, чем для круглых и квадратных, и составляет 10 ÷ 12°.

Если габариты не позволяют установить углы α близкие к оптимальным, то при

α > 15 ÷ 25° целесообразно отказаться от диффузора с прямолинейной образующей и применить один из специальных диффузоров, например, диффузор, обеспечивающий постоянный градиент давления вдоль оси dp/dx = const и, следовательно, приблизительно равномерное нарастание давления (при прямой образующей градиент давления убывает вдоль диффузора) (рис.9.5б).

Уменьшение потери энергии в таких диффузорах по сравнению с обычными будет тем больше, чем больше угол α, и при углах 40 — 60° доходит до 40 % от потерь в обычных диффузорах. Кроме того, поток в криволинейном диффузоре отличается большей устойчивостью, т. е. в нем меньше тенденций к отрыву потока. Хорошие результаты дает также ступенчатый диффузор, состоящий из обычного диффузора с оптимальным углом и следующего за ним внезапного расширения.

9.4. Сужение трубопровода

Внезапное сужение трубы (рис.9.6) всегда вызывает меньшую потерю энергии, чем внезапное расширение с таким же соотношением площадей. В этом случае потеря обусловлена, во-первых, трением потока при входе в узкую трубу и, во-вторых, потерями па вихреобразование. Последние вызываются тем, что поток не обтекает входной угол, а срывается с него и сужается. Кольцевое же пространство вокруг суженной части потока заполняется завихренной жидкостью.

 

 

 

В процессе дальнейшего расширения потока происходит потеря напора

                   (9.13)

где,  ξ_суж - коэффициент сопротивления внезапного сужения зависящий от степени сужения.

Для практических расчетов можно пользоваться полуэмпирической формулой Идельчика:

ξ_суж  =  0,5(1— S₂/S₁)/2 =0,5(1— 1/n),                                  (9.14)

где n = S₂/S₁ -  степень сужения, если учитывается сжатие струи ε= Sсж/S₂,

Из формулы следует, что в том частном случае, когда можно считать S₂/S₁= 0, т.е. при выходе трубы из резервуара достаточно больших размеров и при отсутствии закруглений входного угла, коэффициент сопротивления

ξ_суж = ξ_вх =  0,5.

  Закруглением входного угла (входной кромки) можно значительно уменьшить потерю напора при входе в трубу.

Постепенное сужение трубы, т. е. коническая сходящаяся труба, называется конфузором (рис.9.7). Течение жидкости в конфузоре сопровождается увеличением скорости и падением давления, так как давление жидкости в начале конфузора выше, чем в конце, причин к возникновению вихреобразований и срывов потока, как в диффузоре, нет. В конфузоре имеются лишь потери на трение. В связи с этим сопротивление конфузора всегда меньше, чем сопротивление такого же диффузора.

Потерю напора на трение в конфузоре можно подсчитать так же, как это делали для диффузора, т. е. сначала выразить потерю для элементарного отрезка, а затем выполнить интегрирование. В результате получим следующую формулу:

                    (9.15)

Потери на вихреобразование определяются по формуле

Кпс. при 40 градусах равен 0,2. при осмтаьных значениях угла он увеличивается. Небольшое вихреобразование и отрыв потока от стенки с одновременным сжатием потока возникает лишь на выходе из конфузора вместе соединения конической трубы с цилиндрической. Для ликвидации вихреобразования и связанных с ним  потерь рекомендуется коническую часть плавно сопрягать с цилиндрической  или конической частью заменять криволинейной, плавно переходящей в цилиндрическую (рис.(9.16).

При этом можно допустить значительную степень сужения  n при небольшой длине вдоль оси и небольших потерях.

Коэффициент сопротивления такого плавного сужения, называемого соплом изменяется примерно в пределах ξ= 0,01÷0,1 в зависимости от степени и плавности сужения и Re, большим Re соответствуют малые значения и наоборот.

9.5. Поворот трубы

1. Внезапный поворот трубы, или колено без закругления (рис. 9.17), обычно вызывает значительные потери энергии, так в нем происходят отрыв потока и вихреобразование, причем эти потери тем больше, чем больше угол δ. Потерю напора рассчитывают по  формуле

h = ξ_колV²/(2g).

Коэффициент сопротивления колена круглого сечения ξ_кол возрастает с увеличением δ очень круто (рис.9.17) и при δ = 90° достигает единицы.

2. Постепенный поворот трубы  или закругленное колено (рис.9.18)  называется также отводом. Плавность поворота значительно уменьшает интенсивность  вихреобразования, а следовательно, и сопротивление отвода по сравнению с коленом. Это уменьшение тем больше, чем больше относительный радиус кривизны отвода R/d, и при  достаточно большом его значении срыв потока и связанное с ним вихреобразование устраняется полностью. Коэффициент сопротивления отвода ξ_отв  зависит от  отношения R/d, угла δ, а также от формы поперечного сечения  трубы.

Для отводов круглого сечения с при турбулентном течении можно пользоваться эмпирической формулой, которая для отводов является основной:

Для угла δ= 90° и R/d>> 1

ξ’_отв  = 0,051+0,19*( d/R)                          (9.16)

Для углов меньше δ<< 70° коэффициент сопротивления  

ξ_отв  = 0,9* ξ’_отв *Sinδ_,                          (9.17)

 а при угле δ >> 100° 

ξ_отв  = (0,7 + (δ/90)*0,35)*ξ’_отв                        (9.18)

Потеря напора, определяемая приведенными коэффициентами ξ_отв, учитывает лишь дополнительные сопротивление, обусловленное кривизной русла, поэтому при расчете трубопроводов, содержащих отводы, следует длины этих отводов  включать в общую длину трубопровода , по которой подсчитываются потери на  трение, а затем к этой потере на трение нужно добавить  дополнительную потерю от кривизны , определяемую коэффициентом ξ_отв.

 

9.6. Местные сопротивления при ламинарном течении

 

Изложенное в предыдущих параграфах данной главы, относилось к местным гидравлическим потерян при турбулентном режиме течения в трубопроводе. При ламинарном режиме, во-первых, местные сопротивления обычно играют малую роль по сравнению с сопротивлением трения и, во-вторых, закон сопротивления является более сложным и исследован в меньшей степени, чем при турбулентном течении.

Если при турбулентном течении местные потери напора можно считать пропорциональными скорости  во второй степени, а коэффициенты потерь ξ  определяются в основном формой местного сопротивления и практически не зависят от Re, то при ламинарном течении потерю напора h_м следует рассматривать как сумму

h_м = h_тр+ h_вихр                                                 (9.19)

где h_тр - потеря напора, обусловленная непосредственным действием сил трения (вязкости) в  данном местном сопротивлении и пропорциональная вязкости жидкости и скорости в первой степени; h_вихр - потеря, связанная с отрывом потока и вихреобразованием в самом местном сопротивлении или за ним и пропорциональная скорости во второй степени.

Так, например, при течении через жиклер (рис.9.2) слева от плоскости расширения возникает потеря напора на трение, а справа -  на вихреобразование.

Учитывая закон сопротивления при ламинарном течении, выражении и λ_л =64/Re с поправкой на начальный участок, а также формулу

h_м = ζм V² /(2g), выражение (1.119) можно представить в виде:

где А и В — баразмерные коэффициенты, зависящие в основном от формы местного сопротивления.

После деления уравнения (1.119) на скоростной напор получим общее выражение для коэффициента местного сопротивления при ламинарном течении в трубопроводе

ξ_м  = A/Re+B                          (1.120)

Соотношение между первым и вторым членами в формулах (1.119) и (1.120) зависит от формы местного сопротивления и числа Re.

В таких местных сопротивлениях, где имеется узкий канал, длина которого значительно превышает его поперечный размер с плавными очертаниями входа и выхода, как, например, показано на рис. 1.76а, и числа Re малы, потеря напора определяется в основном трением, и закон сопротивления близок к линейному.

Второй член в формулах (1.119) и (1.120) в этом случае равен нулю или очень мал по сравнению с первым.

Если же в местном сопротивлении трение сведено к минимуму, например, благодаря острой кромке, как на рис. 176б, и имеются отрывы потока и вихреобразование, а числа Re достаточно велики, то потери напора пропорциональны скорости и расходу приблизительно во второй степени.

При широком диапазоне изменения числа Re в одном и том же местном сопротивлении  возможен как линейный при малых Re, так и квадратичный при больших Re закон сопротивления а также переходная между ними область сопротивления при средних Re.

Типичная для такого широкого диапазона Re зависимость ξ от Re в логарифмических координатах дана на рис.1.77, где показаны результаты испытаний  шести сопротивлений. Наклонные прямые соответствуют линейному закону сопротивления, коэффициент ξ обратно пропорционален Re, криволинейные участки – переходной области, а горизонтальные прямые – квадратичному закону или зоне автомодельности, коэффициент ξ не зависит от Re.  Такие графики для конкретных местных сопротивлений обычно строят на основе опытных данных.

Иногда вместо двучленной формы выражения местных гидравлических потерь применяют степенной одночлен.

hм = k*Q^m  .

где k размерная величина, m — показатель степени, зависящий от формы местного сопротивления и Re и изменяющийся d пределах от 1 до 2.

Для местных сопротивлений и Re, при которых закон сопротивления близок к линейному, часто применяют выражение местных гидравлических потерь через эквивалентные длины l_кв. трубопровода, т. е. фактическую длину l_фак трубопровода увеличивают на длину, эквивалентную по своему сопротивлению местным сопротивлениям.

Таким образом

l_расч= l_фак + l_экв                           (1.121)

Тогда суммарное значение потерь на трение увеличится на величину l_экв

.                       (1.122)

Численные значения эквивалентных длин (отнесенных к диаметру трубопровода) для различных местных сопротивлений обычно находят опытным путем.

Доказанная в п.132 для турбулентного режима теорема о потере напора при внезапном расширении русла при ламинарном режиме неприменима. Дело в том, что в этом случае уже неприемлемы те допущения, которые делались при доказательстве этой теоремы, а именно, предположения о равномерном распределении скоростей в сечениях 1 - 1 и 2 - 2, о постоянстве давления по всей площади S2 в сечении 1 - 1 и о равенстве нулю касательных напряжений.

Как показывают экспериментальные исследования, коэффициент потерь для внезапного расширения

1) при очень малых Re< 9 слабо зависит от соотношения площадей и в основном определяется числом Re по формуле вида ξ= A/Re. Это значит, что течение является безотрывным, и потеря на расширение пропорциональна  скорости в первой степени.

2) при 9< Re< 3500 коэффициент потерь зависит как от числа Re, так и от отношения площадей. При Re> 3500 можно считать вполне справедливой теорему Борда, т. е. формулу (1.105), число Re определяется по диаметру и скорости до расширения.

Когда по трубе подводится жидкость со скоростью V₁ к резервуару больших размеров, где V₂ = 0, то можно считать, что теряется вся удельная кинетическая энергия жидкости, которая для стабилизированного ламинарного потока в круглой трубе равна

h = (α_лV²₁)/2g = (V²₁)/g.

Причем коэффициент Кориолиса α_л тем больше, чем больше число Re и чем более удален от входа в трубу расчетный участок.

Если же поток не является стабилизированным, длина трубы  l < lнач, то коэффициент α_л следует определять по графику, данному на рис. 1.46.