811-я лекция,2010

11. РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ(1-я часть)

11.1.Типы сложных трубопроводов. Три задачи по расчету сложных трубопроводов.

11.2 Допущения для  решения систем уравнений.

11.3. Трубопроводы с параллельными ветвями.

11.4. Приемы решения системы уравнений.

11.5 Аналитический метод решение системы уравнений 

11.6 Графический метод решение системы уравнений 

11.7 Трубопроводы с концевой раздачей

11.8. Трубопроводы с непрерывной раздачей.

11.9. Трубопроводы с кольцевыми участками

11.10. Трубопроводы с насосной подачей жидкости. Нахождение рабочей точки

Трубопровод называется сложным, если он  имеет разветвленные участки, и состоит из нескольких труб-ветвей, между которыми распределяется жидкость.

Узлами сложного трубопровода называются сечения, в которых смыкаются несколько ветвей.

11.1.Типы сложных трубопроводов.

Три задачи по расчету сложных трубопроводов.

Различают следующие основные типы сложных трубопроводов:

а) с параллельными ветвями, б) с концевой раздачей жидкости, в) с непрерывной раздачей жидкости, д) с кольцевыми участками.

В практике встречаются также сложные трубопроводы комбинированного типа.

Можно выделить три основные группы задач расчета сложных трубопроводов.

1-я задача. «Определение размеров труб по заданным в них расходам и перепадам напоров в питателях и приемниках».

2-я задача. «Определение перепадов напоров в питателях и приемниках по заданным расходам в трубах заданных размеров».

3-я задача. «Определение расходов в трубах заданных размеров по известным перепадам напоров».

Встречаются также задачи смешанного типа.

Для решения этих задач составляется система уравнений, которая устанавливает функциональные связи между параметрами, характеризующими потоки жидкости в трубах, т.е. между размерами труб, расходами жидкости и напорами. Эта система включает:

1) уравнение баланса расходов для каждого узла;

2) уравнение баланса напоров (уравнений Бернулли) для каждой ветви трубопровода.

11.2. Допущения для  решения систем уравнений.

 

1) Обычно сложные трубопроводы являются длинными, в уравнениях Бернулли можно пренебрегать скоростными напорами.

2) Можно, принимать полный напор потока в каждом расчетном сечении трубопровода практически равным гидростатическому и выражая его высотой пьезометрического уровня над принятой плоскостью сравнения.

3) В сложных трубопроводах можно пренебрегать относительно малыми местными потерями напора в узлах.

Эти допущения упрощают расчеты, поскольку позволяет считать одинаковыми напоры потоков в концевых сечениях труб, примыкающих к данному узлу, и использовать в уравнениях Бернулли понятие напора в данном узле.  

Потери напора в трубах выражаются формулой

которую для расчета можно привести к виду

      (11.1)

Li = l_i +l_iэ, здесь  l_iэ=Σ_k ξ_ikd_i/ λ_i   ,

 

где l_i и d_i - длина и диаметр трубы, ξ_ik— коэффициент местного сопротивления, V_i - средняя скорость потока в трубе,  λi -  коэффициент сопротивления трения, Li - приведенная длина трубы (учитывает местные сопротивления с помощью их эквивалентных длин l_iэ, Li = l_i +l_iэ, здесь  l_iэ=Σ_k ξ_ikd_i/ λ_i) .

Числовой множитель в формуле (11.1) равен 16/(π² *2g), где g - ускорение свободного падения выражено в м/c².

Конкретный вид системы расчетных уравнений и способы ее решения определяются типом сложного трубопровода и характером поставленной задачи.  Для получения однозначного решения система расчетных уравнений должна быть замкнутой, т.е. число независимых неизвестных в ней должно быть равно числу уравнений.

11.3. Трубопроводы с параллельными ветвями.

В таких трубопроводах разветвленные участки состоят из нескольких труб, соединяющих два данных узла.

Общая схема трубопровода с параллельными ветвями (рис. 11.1) включает питатель, трубу, подводящую жидкость к разветвленному участку, параллельные трубы на разветвленном участке, трубу, отводящую жидкость от разветвленного участка, приемник.

В частных случаях некоторые элементы этой схемы могут отсутствовать.

Уравнение баланса расходов в узле А

Q=Q₁+… +Q_i+…+Q_n  ,                         (11.2)

где индекс i относится к любой из параллельных труб.

Уравнение баланса расходов в поводящей и отводящей магистралях

Q = Qподв = Qотв

-   расход в подводящей и отводящей трубах (магистральный расход).

В соответствии с допущением 1: в длинных трубах скоростными напорами можно пренебрегать.  

Потеря напора в каждой из параллельных труб одинакова и практически равна разности h  пьезометрических уровней в узлах ( рис. 11.1):

 

h_п1 =… = h_пi =…=  h_пn = h    (11.3).

 

Рассмотрим более подробно уравнение баланса расходов и напоров в параллельном соединении.

Составляя уравнения Бернулли для каждой из труб, получаем уравнения баланса напоров из системы трех уравнений

Н — у_А = h_п.под 

                                      {  у_А -у_В = h_п (уравнения Бернулли для параллельных труб) (11.4) 
   ув = h_п.отв,

где Н — напор трубопровода - перепад напоров в питателе и приемнике; у_А и у_В — напоры в узлах А и В, отсчитанные от уровня в приемнике.

Сравнивая уравнения Бернулли, записанные для параллельных труб, приходим к соотношению

 

h_п1= ... h_пi = … = h_{пn ,} (11.5)

_где h_{пn-потери в параллельных трубах.}                                 
                Это соотношение показывает, что потери напора в параллельных трубах равны между собой. Следовательно, потеря напора в разветвленном участке между узлами равна потере напора в любой из параллельных труб, соединяющей эти узлы.

Суммирование потерь напора в последовательно расположенных участках сложного трубопровода (подводящая труба, разветвленный участок, отводящая труба) приводит к соотношению, которое называется балансом напоров в сложном трубопроводе с  параллельными ветвями.

Н = hп.подв +hпп +hп.отв =

         = hп.подв +h_пi +hп.отв .       (11.6)

Таким образом, система расчетных уравнений с учетом формулы (11.1) может быть приведена к системе  вида

                  Q=Q₁+… +Q_i+…+Q_n 

{     ==  (11.7)

Н =  +

Поскольку в длинных трубах скоростными напорами мы пренебрегаем, потеря напора в каждой из параллельных труб практически равна разности h  пьезометрических уровней в узлах:  h_п1 =… = h_пi =…=  h_пn = h.

Cистема уравнений (11.7) позволяет решить любую из сформулированных выше задач. 

11.4. Приемы решения системы уравнений.

 

1.Решение этой системы (11.7) выполняют методом последовательных  приближений, так как, не зная размеров труб или идущих по ним расходов, нельзя точно определить коэффициенты сопротивления  λ_i  ,ξ_ik  в этих трубах.  Для решения в первом приближении принимают, что в трубах имеет место квадратичный закон сопротивления.   Значения λ_i  и ξ_ik  определяются только относительной шероховатостью труб.

2. Решив уравнения с выбранными значениями коэффициентов сопротивлений и определив искомые величины, повторяют решение во втором приближении, пользуясь более точными значениями и результатами  первого приближения. Приближения повторяют до близкого совпадения(5-7%) результатов. Обычно уже второе приближение оказывается достаточно точным.

3. При аналитическом решении системы уравнений (11.7) удобно заменить пучок параллельных труб одной эквивалентной трубой, которая пропускает весь расход, проходящий через параллельные трубы, при потерях напора, равных потерям напора на разветвленном участке.

Размеры эквивалентной трубы (диаметр d и длина Lэ) связаны с размерами параллельных ветвей соотношением

       (11.8)

(При этом dэ и λэ можно выбрать, как средние величины, или, как dэ и λэ в подводящей или отводящей ветвях, а Lэ найти.)

4. При расчете этим способом схема трубопровода с параллельными ветвями приводится к схеме простого трубопровода, в который эквивалентная труба входит как один из последовательных участков.  Для схемы трубопровода, показанной на рис. 11.1, уравнение баланса напоров в этом случае имеет вид

Н =  (11.9)

 

11.5 Графический метод решение системы уравнений 

для трубопровода с заданными размерами.

 

11.5.1 Последовательность решения системы уравнения при графическом методе решения.

1. Построение характеристик всех труб с использованием уравнения (11.1). При построении в зависимости от ламинарного или турбулентного режима движения жидкости в трубе выбирается показатель степени при Q и величина коэффициента λ. При турбулентном течении в трубе ее характеристика является квадратичной параболой; при ламинарном течении в длинной трубе — практически прямой зависимостью. Характеристика представляет собой зависимость потерь напора в трубе от расхода.

1.1 Для турбулентного режима

 -парабола,     (11.10)

Li = l_i +l_iэ, здесь  l_iэ=Σ_k ξ_ikd_i/ λ_i   ,

1.2.Для ламинарного движения Формула Вейсбаха—Дарси

где  λ - коэффициент потерь на трение в трубе, для ламинарного режима λ_л =64/Re, скорость через расход: Q= V*(π/4)d², выражение для потерь при ламинарном движении

                                           (11.11).

Характеристики параллельно работающих ветвей затем суммируют согласно уравнениям (11.6) и (11.7), т.е. путем сложения абсцисс кривых (расходов) при одинаковых ординатах (напорах). Полученную в результате такого суммирования характеристику разветвленного участка можно рассматривать как характеристику эквивалентной трубы, заменяющей данные параллельные. 

На рис. 11.2 построена характеристика разветвленного участка трубопровода, со- стоящего из двух параллельных труб.  h_п1 и h_п2 –графики потерь в параллельных ветвях, построенные по формулам (10.11).

 

В параллельных ветвях потери равны hп1 = hп2, следовательно и у разветвленного (эквивалентного) заменяющего их участка трубопровода, потери такие же hп1 = hп2= hп.

1.3.  Откладываем на оси абсцисс величину потерь hп1 = hп2= hп, точка - 0

1.4  Проводим линию параллельную оси ординат, в точках 1 и 2 получаем значения расходов: Q₁, Q₂, суммируем их и получаем точку -3 для построения графика  потерь эквивалентного участка, точку - 4. Также строим и другие точки.

            11.5.2  Построение характеристики сложного трубопровода.

Характеристику эквивалентного участка суммируют с характеристиками подводящей и отводящей труб  и получают характеристику сложного трубопровода

Нслж = hп.подв +hрэ +hп.отв     (11.12).

2.1 На график следует нанести характеристики: подводящей, эквивалентной и отводящей  магистралей.

2.2 На оси ординат откладывают величину расхода, выходящего из питателя – Q₁, точка - 0.

2.3.  По расходу Q1  определяют потери в подводящем трубопроводе – точка -1, напор - hп.подв , в эквивалентном  – точка -2 - hэ, в отводящем – точка – 3,  hп.отв .

2.3. Сложением ординат (напоров) hп.подв +hэ +hп.отв       при одинаковом расходе – Q1,  получим характеристику сложного трубопровода – точка 4 (рис. 11.3).

hслж = hп.подв +hэ +hп.отв

Остальные точки можно получить при значениях Q < Q₁.

11.5.3 Пример использования графического расчета сложного трубопровода с двумя параллельными ветвями показан на рис. 11.4.

Определение потребного напора сложного трубопровода  по характеристикам сложного трубопровода по заданному расходу в одной из ветвей, например, подводящей, отводящей или по расходу в одном из параллельных участков.

 Для задачи известный расход в одной из параллельных ветвей, например, в первой -  Q₁, нужно отложить на оси абсцисс и через полученную точку А провести вертикаль до пересечения с характеристикой первой ветви, точка B₁. Ордината h_п1, точки В_1,  выражает потери напора в параллельных ветвях :  h_п1 = h _п2 = h _п.

рис.11.5

Через точку В₁ провести горизонталь до пересечения с характеристикой второй параллельной ветви разветвленного участка, то получим точку В₂, абсцисса которой равна расходу Q₂ .

Складывая расходы, получаем суммарный расход Q = Q₁ + Q₂ через параллельный участок.

На пересечении абсциссы Q и ординаты hп, получаем точку С  - это точка совместной характеристики разветвленного участка.

Восстановив вертикаль до пересечения с характеристикой сложного трубопровода, получим точку D, ордината которой выражает искомый потребный напор Н.

2. Определение расходов во всех трубах по заданному располагаемому напору определить.

 2.1 На оси ординат отложить известный напор Н - точка Е.

2.2. Через точку Е  провести горизонталь до пересечения с суммарной характеристикой сложного трубопровода точка - D. Абсцисса этой точки D выражает суммарный расход

Q₂=Q₁+Q₂.

2.3.Через точку D провести вертикаль до пересечения с характеристикой разветвленного участка, ордината полученной точки С будет соответствовать потерям напора в каждой из параллельных ветвей.

2.4 Через точку С провести горизонталь до пересечения с характеристиками ветвей, то получим точки В₂ и В₁, абсциссы которых являются расходами Q₂ и Q₁ в ветвях.

Если характеристики построены с учетом коэффициентов сопротивления трения и коэффициентов местных сопротивлений в зависимости от режимов течения жидкости в трубопроводах, то отпадает необходимость в последовательных приближениях, что является значительным преимуществом графического метода.

11.6. Трубопроводы с концевой раздачей.

Соотношения (11.2) и (11.4) могут быть использованы не только для расчета сложных трубопроводов с параллельными ветвями, но и для расчета сложных трубопроводов с концевой раздачей в тех случаях, когда перепады напоров в ветвях, расходящихся из одного узла, оказываются равными. На рис. 11.6 показаны некоторые схемы таких трубопроводов.

11.6.1 Аналитический метод решения.

В трубопроводах этого типа жидкость, поступающая к узлам из питателей, распределяется между несколькими ветвями, по которым она направляется к приемникам с различными напорами жидкости, см. рис. 11.6, где жидкость, подводимая к узлу А, раздается по трубам в приемники с напорами Нв, Н_C., Н_D.

Расчет трубопровода с концевой раздачей рассмотрим на простейшей схеме трубопровода, соединяющего три резервуара и  имеющего один узел (рис. 11.7). Особенностью рассматриваемой схемы является то, что система расчетных уравнений получается различной в зависимости от направления потока в трубе, соединяющей узел со средним резервуаром 2.

Верхний резервуар 1 всегда является питателем, и жидкость поступает из него к узлу. Нижний резервуар 3 всегда является приемником, и жидкость поступает к нему от узла.

Резервуар 2 может быть как приемником, так и питателем.  Направление потока в трубе 2 определяется соотношением между напором у в узле и напором Н₂ в среднем резервуаре. В зависимости от этого соотношения возможны три случая распределения расходов в трубах и в соответствии с этим три различные системы расчетных уравнений.

1. Если напор у в узле меньше напора Н2 в резервуаре 2 (у < Н2), то жидкость из резервуаров 1 и 2 перетекает в резервуар 3, и система уравнений для решения задачи имеет вид,

случай   у < Н2:}  (11.13)

2.Если напор  у > H2, то жидкость из резервуара 1 перетекает в резервуары 2 и 3 , и расчетная схема принимает вид

у > H2   (11.14)

3. Если у = Н₂, расход Q₂ = 0,  Q₁=Q₂ =Q  и жидкость перетекает из резервуара 1 в резервуар 3.

Расчетная система уравнений имеет вид

} (11.15)

Если система включает трубы, которые оканчиваются сходящимися насадками, открытыми в атмосферу, то при составлении уравнений баланса напоров для таких труб следует учитывать скоростные напоры на выходе из насадков. 

Системы расчетных уравнений выбирают в зависимости от постановки задачи. Направление потока в трубе 2 может быть наперед задано условиями задачи или же, если оно заранее неизвестно, должно определяться в процессе самого решения. 

Рассмотрим случай, когда известными в задаче являются напоры в резервуарах и размеры всех труб; требуется определить расходы в трубах. 

Решение следует начинать с определения направления потока в трубе 2, для чего используется специальный прием «выключения ветви».

При этом вычисляют напор у’ в узле при выключенной трубе 2, т.е. когда Q₂ = 0 и Q1=Q3. Составляя уравнения Бернулли для труб 1 и 3 и, решая их относительно у’, получаем

(11.16)

3.1.Если это уравнение дает значение у’ < Н2, то при включении трубы 2 работа сложного трубопровода будет соответствовать рассмотренному выше первому расчетному случаю, и для решения задачи нужно воспользоваться системой уравнений (11.13).

3.2.  Если у’> Н2, то при включении трубы 2 имеем второй случай, и для решения задачи используются уравнения системы (11.14).

3.3. Если  у’ = Н2, то при включении трубы 2 расход в ней равен нулю, и расчет производится соответственно третьему случаю по уравнениям (11.15).

Так как расходы в трубах являются в этой задаче искомыми неизвестными и, следовательно, значения коэффициентов сопротивлений труб заранее точно определить нельзя, аналитическое решение проводится методом последовательных приближений.

11.6. Трубопроводы с концевой раздачей.

11.6.2 Графический  метод решения.

Рассмотренная задача может быть решена и графическим методом, т.е. путем графического решения приведенных выше расчетных систем уравнений.

Идея графического решения заключается в определении напора у в узле, при котором удовлетворяется условие баланса расходов. 

1. Сначала определяют напор у’ в узле при выключенной трубе 2, для чего строят кривые у = f(Q) для ветвей 1 и 3 у' = f(Q)  согласно уравнениям

Q₁=Q₃ = Q

2. Ордината точки А пересечения кривых дает напор у’ (рис. 10.9).

2.1.Если у’ = Н₂, то абсцисса точки А дает величину действительного расхода в ветвях 1 и 3 (Q₁ = Q₃=Q ). Расход Q₂=0 при этом равен нулю.

2.2  Если у’ <  Н2, то имеет место распределение потоков в ветвях, соответствующее первому расчетному случаю: Q1+Q2 = Q3.  

2.2.1 Для определения расходов в этом случае следует построить кривую у = f(Q) для ветви 2 согласно второму уравнению системы (11.13)

,

H₂-y =0,0827λ₂(L²/d₂⁵)Q₂²

2.2.2 Затем сложить кривые, построенные для ветвей 1 и 2 согласно последнему уравнению той же системы(т.е.Q3 = Q1+Q2 (рис. 11.9).

2.2.3.Ордината и абсцисса точки В пересечения суммарной кривой ветвей 1 и 2 с кривой ветви 3 дают  действительный напор в узле "Y" и расход Q3, равный в этом случае Q1 + Q2.

2.3. Если у’> Н2 (рис. 11.10), то имеет место распределение потоков в ветвях, соответствующее второму расчетному случаю Q1 = Q2+ Q3.

2.3.1 Для определения расходов следует построить кривую у = f(Q) для ветви 2 согласно второму уравнению системы y - H₂=0,0827λ₂(L²/d₂⁵)Q₂² и сложить кривые для ветвей З и 2 согласно последнему уравнению этой же системы.

2.3.2 Ордината и абсцисса точки В пересечения суммарной кривой ветвей З + 2 и кривой, построенной для ветви 1, дают соответственно напор в узле "Y" и расход (2, равный в данном случае Q1=Q2 + Q3.

При графическом решении отпадает необходимость в последовательных приближениях, так как характеристики можно строить с учетом изменения коэффициентов сопротивлений в зависимости от режимов движения жидкости в трубах.

Заметим, что в практике расчетов возможны такие постановки задач, при которых расчетная система уравнений оказывается неопределенной, и решение приобретает неоднозначный характер.

Такой, например, является задача проектирования трубопровода с концевой раздачей (см. рис. 11.7), когда требуется определить размеры ветвей (обычно их диаметры) так, чтобы при заданных напорах в резервуарах обеспечить подачу из верхнего резервуара 1 в нижние резервуары 2 и 3 заданных расходов жидкости.

При этом можно видеть, что в расчетной системе уравнений (11.13) число искомых неизвестных больше числа уравнений. Для решения задач такого типа используют дополнительные условия технико-экономического характера.

11.7. Трубопроводы с непрерывной раздачей.

 

Трубопроводом с непрерывной раздачей называется такой трубопровод, в котором на некоторой длине L часть расхода Qп (путевой расход) равномерно потребляется в большом числе пунктов, расположенных на одинаковых расстояниях друг от друга (рис. 11.11).

Остальная часть расхода Qт (транзитный расход) транспортируется через участок L в последующие участки трубопровода. Расчет трубопроводов с непрерывной раздачей выполняют в предположении, что жидкость отбирается из трубопровода непрерывно и равномерно с интенсивностью q (л/с)*м) по всей длине L  разветвленного участка. При этом путевой расход

Qп = q*L                              (11.15)

Cуммарный расход в начальном сечении участка

Q = Qп + Qт = q*L + Qт.                            (11.16)
Потерю напора на разветвленном участке L трубопровода можно подсчитать по формуле

 

11.8. Трубопроводы с кольцевыми участками

 

Кольцевой разветвленный участок представляет собой в простейшем случае две параллельные трубы между узлами А и В с одной или несколькими перемычками, соединяющими промежуточные сечения этих труб (рис. 10.13).

По перемычкам некоторое количество жидкости перетекает из одной трубы в другую. Направление потока в перемычке определяется величинами напоров в соединяемых перемычкой сечениях.

Жидкость может подаваться в кольцевой разветвленный участок или отбираться из него через узлы А и В смыкания участка с подводящей и отводящей трубами или через узлы К и S на концах перемычек.

11.8.1.Аналитический метод  расчета трубопровода с кольцевыми участками применяют метод последовательных приближений.

1. Например, если при заданных размерах труб кольцевого участка известны величины притока и отбора жидкости в узлах и требуется определить расходы в трубах, то в качестве первого приближения эти расходы Q_1i   задают удовлетворяющими условиям баланса расходов в узлах.

2. Затем выбирают первое замкнутое кольцо разветвленного участка и для всех входящих в него труб вычисляют потери напора. Расходы считаются заданными правильно, если алгебраическая сумма потерь напора в кольце равна нулю. В противном случае следует повторить выкладки при измененных расходах в трубах:

Q_2i = Q_1i +∆ Q₁

Поправка ΔQ должна удовлетворять уравнению

Подбор расходов следует продолжать до тех пор, пока алгебраическая сумма потерь напора в трубах рассматриваемого кольца не станет равной нулю. Затем аналогичные вычисления повторяют последовательно для каждого из замкнутых контуров разветвленного участка.

11.8.2. Графический метод расчета кольцевых трубопроводов с заданными размерами.

 Рассмотрим такой способ применительно к схеме кольцевого участка на рис. 11.12, предполагая, что жидкость подается в кольцо через узел А и отбирается из кольца через узел В.

1. При графическом решении задачи первоначально предполагаем, что перемычка КS перекрыта. В этом предположении Q₁ = Q₃ и Q₂=Q₄, кроме того Q₁ +Q₂ = Q₃ + Q₄.

2. Для определения направления потока в перемычке составляют уравнения характеристик труб 1 — 4:

                                           y_A – y_K = h_п1 ; y_A – y_S = h_п2; 

y_K – y_B = h_п3 ; y_A – y_B = h_п4, (11.11)

где у_А, у_К, у_S и у_B — напоры в узлах; hп — потери напора в трубах, подсчитываемые по уравнению (11.1) . Построения выполняем в следующем порядке.

3. Если известен перепад напоров Н = у_А — у_B и требуется определить расходы в трубах, выбираем вертикальную ось у и пересекаем ее горизонтальными осями х и х’, расстояние между которыми Н. Точки пересечения обозначаем О₁ и О₂.

4. Строим кривые потерь в трубах 1, 2, 3 и 4 из точек О₁ и О₂, как показано на рис. 11.13.

5.  Абсцисса точки т пересечения кривых 1 и 3 дает при этом расход в ветви АКВ(Q1 = Q3), а абсцисса точки п пересечения кривых 2 и 4 дает расход в ветви АSВ (Q2 = Q4) (см. рис. 11.13).

5. Ординаты точек т и п (см. рис.11.13), отсчитанные соответственно от осей х и х’, дают напоры, потерянные на участках 1, 2, 3 и 4.

6. По соотношению напоров, потерянных на участках 1 и 2, можно установить направление потока в перемычке после ее открытия. В случае, который показан на рис. 11.13, поток направлен от К к S (см. рис. 11.13), потому что hп3> hп4. Расход Q₅‚ и потеря напора h_п5 в перемычке должны удовлетворять уравнениям:

Q1 = Q3+ Q5; Q4 = Q2+Q5;

hп1+hп5=hп2;         (11.12)

                                                  hп5+hп4=hп3.

При этом равенства Q1+Q2 = Q3 + Q4 и h_п1 + h _п3 = h _п2 + h _п4 остаются в силе.

Для отыскания величин Q5 и h_п5 на чертеж накладывается лист кальки, на который наносятся оси х’ и у, а также кривые h _п3 и  h _п4. Калька передвигается влево, если h _п1 < h _п2  или вправо, если h _п1 > h _п2 .

Сдвинув кальку влево (см. рис. 11.13), отметим точки т’ и п’ и проведем через них горизонтальные прямые. Эти прямые образуют с осями у и у’ прямоугольник. На отдельном листе кальки построим кривую h _п5 = f(Q₅)  для перемычки. Наложим эту кальку на чертеж так, чтобы начало кривой h _п5   совпало с левым верхним углом прямоугольника.

Кальки переместим до положения, при котором кривая h _п5 пройдет через правый нижний угол прямоугольника. При этом расстояние между осями у и у’ показывает расход в перемычке, а расстояние между горизонталями, проходящими через точки m и n, соответствует потере напора в перемычке. Абсциссы точек m’ и n’, отсчитанные от оси у’, выражают расходы на участках, а ординаты,  отсчитанные от осей х и х’, выражают потерянные на участках напоры. При этом уравнения (10.19) удовлетворяются.

При отыскании напора Н, необходимого для пропуска через данную  систему заданного расхода , кальку с кривыми З и 4 и осью у накладывают на чертеж с нанесенными кривыми 1 и 2 так, чтобы оси у и У’ совпали, а затем передвигают вверх или вниз, пока сумма абсцисс точек пересечения кривых 1 и З и кривых 2 и 4 не будет изображать заданного расхода Q. После этого кальку с кривыми З и 4 передвигают вправо или влево в зависимости от получающегося направления потока в перемычке.

Накладывая кривую потерь в перемычке h _п5 =f(Q₅) на образовавшийся на чертеже прямоугольник так, чтобы начало располагалось в левом верхнем углу, перемещают кальки по вертикали до тех пор, пока h _п5 не станет равной h _п2 - h _п1 или h _п1 - h _п2.

Рассмотренные выше методы расчета трубопроводов проиллюстрируем некоторыми примерами.

Пример 1 (рис. 11.14). Для увеличения при заданном напоре Н пропускной способности трубопровода к нему между сечениями А и В присоединяют параллельную ветвь.

Определить, во сколько раз изменится расход в трубопроводе длиной L, диаметром d, если к нему присоединена параллельная ветвь того же диаметра длиной l.

Считая трубопроводы длинными, предполагая наличие в них турбулентных потоков, имеем для случая работы одного трубопровода

11.14

 

Для случая работы трубопровода с параллельной ветвью
(10.21)
Сравнивая уравнения (10.20) и (10.2 1), получаем

откуда

Так как при неизвестных расходах вычислить точные значения λ нельзя, задачу решим приближенно. Принимая в первом приближении величины λ  для всех труб одинаковыми, получаем

В частном случае при L = l имеем
Q2/Q1 = 2.
Пример 2 (рис. 10.16). Найти, как распределится расход жидкости Q  между двумя параллельными трубами диаметрами d1 и d2 длинами (приведенными) L1 и L2 при значениях абсолютной шероховатости труб Δ1 и  Δ2.

Поскольку искомыми величинами в задаче являются расходы, целесообразно избрать графический метод решения.

Построим характеристику первой трубы согласно уравнению

задавая ряд значений Q и вычисляя hп1; соответствующие величины определяются по заданной относительной шероховатости d1/Δ и значениям числа Рейнольдса (см. гл. 9)

В тех же осях аналогично построим характеристику второй трубы

Складывая построенные кривые по правилу суммирования характеристик параллельных труб, получим характеристику разветвленного участка.

Далее на оси расходов находим точку, соответствующую суммарному расходу Q, и проводим через нее вертикаль до пересечения с характеристикой разветвленного участка. Через полученную точку В проводим горизонталь до пересечения с характеристиками первой (точка В1) и второй (точка В2) труб. Абсциссы полученных точек пересечения выражают искомые расходы Q1 в первой и Q2 во второй трубах.
Пример З (рис. 10.17). Вода поступает из магистрали по трубам заданных размеров ( l1,d1, l2,d2,l3,d3) и шероховатостей (Δ1,Δ2,Δ3) в два резервуара, уровни в которых расположены на отметках А и В выше уровня оси магистральной трубы. 

11.15

Определить, при каком давлении р в магистрали в верхний резервуар будет поступать расход Q2.

По заданному расходу Q2 и шероховатости Δ2 трубы определяем коэффициент сопротивления трения λ2 и эквивалентную длину местных сопротивлений, установленных на второй трубе l₂ =ξ₂/λ₂.

Затем вычисляем напору в узловой точке трубопровода:

где L₂ = l₂ + l_2э -  приведенная длина второй трубы.

Расход Q3 определяем методом последовательных приближений из уравнения Бернулли для третьей трубы:

где L₃ = l₃ + l_3э — приведенная длина третьей трубы l₂ =ξ₂/λ₂.

Очевидно,  Q₁ = Q₂ + Q_3.                   Напор в магистрали

где величина λ₁ определяется по вычисленному расходу и заданной шероховатостиΔ₁.
11.9. Трубопроводы с насосной подачей жидкости. Нахождение рабочей точки

В машиностроении основным способом подачи жидкости является подача насосом.

Методы расчета характеристик трубопровода и насоса  позволяют определить их рабочую точку. 

Трубопровод с насосной подачей может быть разомкнутым, когда  жидкость перекачивается из одной емкости в другую (рис.11.16а) или замкнутым, когда напорный трубопровод соединен со всасывающим,  и в  гидросистеме циркулирует одно и то же количество жидкости (рис. 11.16б).

11.16

 Рассмотрим разомкнутый трубопровод, по которому насос перекачивает жидкость, из нижнего резервуара с давлением Р₀ в верхний -  с давлением Р₂ .

Геометрической высотой всасывания Н₁ называется высота расположения оси насоса относительно нижнего уровня жидкости в баке.

Трубопровод , по которому жидкость поступает к насосу, называется  всасывающим трубопроводом или линией всасывания.

Геометрической высотой нагнетания Н₂  называется высота расположения оси насоса относительно верхнего уровня жидкости или относительно конечного сечения трубопровода.

Трубопровод, по которому жидкость движется от насоса, называется  напорным трубопроводом или линией нагнетания.

Составим уравнение Бернулли для потока жидкости во всасывающем трубопроводе   для сечений «0 – 0» и «1-1», принимая α=1:

  (1.149)

Уравнение (1.149) является основным для расчета всасывающих трубопроводов. Оно показывает, что всасывание или  подъем жидкости на высоту  Н₁,  сообщение ей кинетической энергии и преодоление всех гидравлических сопротивлений происходит за счет использования насоса, который создает  давление Р₀.

Для нормальной бескавитационной работы насоса перед входом в насос должен остался некоторый запас давления Р₁. Т.е.магистрали всасывания должны иметь минимальное сопротивление.

Возможны следующие задачи на расчет всасывающего трубопровода.

Задача 1. Даны все размеры и расход и требуется найти абсолютное давление перед входом в насос.

Решение этой задачи представляет собой поверочный расчет всасывающего трубопровода. Абсолютное давление Р₁, полученное по уравнению (1.149), сравнивают с тем, которое является минимально допустимым для данного случая.

Задача 2. Дано минимально допустимое абсолютное давление Р₁  перед входом в насос и требуется найти одну из следующих предельно допустимых величин: Р_1max, Q_max, d_min или P_0min.

Заgпишем уравнение Бернулли для движения жидкости по напорному трубопроводу, т. е. для сечений «2 – 2» и «3 – 3»:

 (1.150)

Левая часть уравнения (1.150) представляет собой энергию жидкости на выходе из насоса, отнесенную к единице веса.

Энергия жидкости перед входом в насос для сечения «1 – 1»  может быть определена из уравнения (1.149):

  (1.150’)

 

Найдем приращение энергии жидкости в насосе, т. е. определим ту энергию, которую приобретает, проходя через насос, каждая единица веса жидкости.

Энергия сообщаемая  жидкости насосом называется напором  насоса  и обозначается обычно Н_нас.

Для нахождения напора насоса Н_нас вычтем последнее  уравнение (1.150’) из уравнения (1.150):

Потери напора по длине и в местных сопротивлениях выражаются с учетом уравнения неразрывности Q = V*F=V*(π/4)d², V=Q/F=4Q/(πd²), V² = (16*Q²)/(π²d⁴),

      ,

Обозначим сумму разности геометрических напоров ΔН и  пьезометрического напора (Р₃-Р₀)/(ρg),  как статический напор                 

                   

и  формулу (1.151) переписать так, при   К=к₁+к₂:

                                (1.151’)

В правой части этого уравнения: сопротивления, преодолеваемые при работе насоса, их можно назвать потребным напором.

Н_нас = Н_потр              (1.152)

Можно  сформулировать правило: при установившемся течении жидкости в трубопроводе насос развивает напор, равный потребному.

На равенстве (1.152) основывается метод расчета трубопроводов, питаемых насосом, который заключается в совместном построении, в одном и том же масштабе на одном графике двух кривых: Н_потр =f₁(Q), Н_нас=f₂(Q)и в нахождении их точки пересечения(рис.1.101).

Характеристикой насоса называется зависимость напора, создаваемого насосом, от его подачи или расхода жидкости при постоянной частоте вращения вала насоса. На рис. 1.101 дано два варианта графика:

а) для турбулентного режима течения в трубопроводе и центробежного насоса;

б) для ламинарного режима и объемного насоса.

Рабочей точкой называется точка пересечения кривой потребного напора и характеристики насоса, где  имеется равенство потребного напора  и напора насоса.

Чтобы получить другую рабочую точку, необходимо или изменить открытие регулировочного крана (вентиля, задвижки), т. е. изменить характеристику трубопровода или изменить частоту вращения вала насоса.

Данный расчетный прием для нахождения рабочей точки применим в том случае, когда частота вращения привода насоса не зависит от мощности, им потребляемой, т. е. от нагрузки на валу насоса. Например, при соединении насоса с электродвигателем переменного тока или с иным двигателем, мощность которого во много раз больше мощности насоса.

Для замкнутого трубопровода (рис. 1.100б) геометрическая высота подъема жидкости равна пулю (ΔН = 0), следовательно, при V₁=V₂:

т. е. между потребным напором и напором, создаваемым насосом, справедливо то же равенство.

Замкнутый трубопровод обязательно должен иметь расширительный или компенсационный бачок, соединенный с одним из сечений трубопровода, чаще всего с сечением у входа в насос, где давление имеет минимальное значение. Без этого бачка абсолютное давление внутри замкнутого трубопровода было бы неопределенным и  переменным в связи с колебаниями температуры и утечками через неплотности.

При наличии расширительного бачка, присоединенного к трубопроводу, как показано на рис. 1.100б давление перед входом в  насос

Р₁=Р₀-Н₀/ρg

По величине Р₁ можно подсчитать давление в любом сечении замкнутого трубопровода. Если давление в бачке Р₀ изменить на некоторую величину, то во всех точках данной системы давление изменится на ту же самую величину.

Бачок можно включить также в замкнутый трубопровод, как показано на рис. 1.100б штриховой линией (трубопровод внутри бачка при этом должен иметь разрыв).